Correction de l'épreuve de mathématiques du CRPE 2006 - groupe 3

Correction de l'épreuve de mathématiques du concours
CRPE 2006
(professeur des écoles)

Auteur: Frédéric Rival

Date de création: le vendredi 11 janvier 2008.

Date de la dernière mise à jour: le jeudi 17 janvier 2008.

Exercice 1:

Exercice 2:

1- 1 cm correspond à 1 km, c'est-à-dire 100 000 cm. L'échelle est donc de .

2-

3- AEM est un triangle, et d'après l'inégalité triangulaire, AE < AM + ME car, de plus, M est distinct de F, i.e.

De plus, donc AE = AF + FE.

E est le symétrique de B par rapport à la droite (CD), donc (cd) est la médiatrice du segment [EB]. Or M et F appartiennent la droite (CD), donc FB = FE et MB = ME.

D'où AE = AF + FE = AF + FB < AM + ME = AM + MB, et on en déduit l'égalité demandée: AF + FB < AM + MB.

4- D'après 3, la position du point G sur [CD] pour obtenir la plus petite distance AG + GB est le point F.

5- Comme E est le symétrique de B par rapport à la droite (CD) et comme C est le point d'intersection de (EB) et (CD), EC = CB.

Les deux droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires à la même droite (CD), elles sont donc parallèles.

D'après le théorème de Thalès, dans le triangle AFD, (car (AD) // (CE) ), on a:

. Or EC = CB = 4cm, donc i.e. FD = FC.

6- D'après 5, FC = FD. Or FC = (CD – CF) car FD = CD – CF.

D'où FC + FC = CD

FC = CD

FC = CD = x 14 = 5,6 km

7- On cherche le trajet en passant par la gare G: AG + GB = AF + FB.

Dans un premier temps, calculons la distance DF:

DF = CD – FD = 14 – 5,6 = 8,4 cm.

Dans le triangle ADF rectangle en D, et d'après le théorème de Pythagore,

= + = + = 106,56 .

Dans le triangle FCE rectangle en C, et d'après le théorème de Pythagore,

= + = + = + = 47,36 car E est le symétrique de B par rapport à la droite (CE), et la symétrie axiale conserve les distances.

Pour les mêmes raisons, on a FE = FB.

Ainsi, AF + FB = + ≈ 17,205 km.

La longueur du trajet de la ville A à la ville B en passant par la gare G est 17 205 m.