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Pas de commentaires dans le livre d'orProblème géométrique à plusieurs solutions du collège au lycée (5ème, 2nde, 1ère S et TS) à propos de l'alignement de 3 points.
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Exercice de géométrie à plusieurs solutions pour préparer l'épreuve d'oral II du CAPES de mathématiques
Date de création: le samedi 8 mars 2008.
Date de la
dernière mise à jour: le
Auteur: Frédéric Rival
Énoncé:
Construire un carré indirect ABCD.
Construire deux triangles équilatéraux directs DCE et BCF.
Créé avec CaRMetal.
Solution n°1:
Niveau: 5ième / 1èreS
Outil: Angles géométriques en degré / Angles orientés en radian
ABCD est un carré, et BCF et EDC sont des triangles équilatéraux, donc tous les segments de ces figures sont de même longueur.
ABCD
est un carré, donc
=
.
DCE
est un triangle équilatéral donc
=
.
D'où
=
–
=
=
.
Donc
=
+
=
=
car BCF est un triangle équilatéral.
De plus, EC = CF donc ECF est un triangle rectangle isocèle en C.
Ainsi
=
.
=
car DEC est un triangle équilatérale.
=
–
=
=
.
ADE est un triangle
isocèle en D, donc
Ainsi,
=
+
+
=
+
+
=
= .
D'où les points A, E et F sont alignés.
Solution n°2:
Niveau: 1ère S
Outil: rotation
Aide: Construire le triangle équilatéral ACA'
ou
le point A' par la rotation de centre C et d'angle
du point A.
Créé avec CaRMetal.
On note A' le point
image de A par la rotation de centre C et d'angle
.
ACA' est un triangle équilatéral, donc A' appartient à la médiatrice de [AC].
De plus, [BD] est la diagonale du carré ABCD, donc B et D appartiennent à la médiatrice de [AC], d'où A', B, et D sont trois points alignés.
EDC
est un triangle équilatéral donc D est l'image de E par
la rotation de centre C et d'angle
.
BCF
est un triangle équilatéral donc B est l'image de F par
la rotation de centre C et d'angle
.
Comme les points A', B et D sont alignés, et une rotation conserve l'alignement, les points A, E, et F sont alignés.
Solution n°3:
Niveau: Tal S
Outil: complexe
Propriété:
Si le point M' d'affixe z' est l'image du point M d'affixe z par la
rotation de centre î‚¶
d'affixe  et d'angle ,
alors
.
Démonstration:
Le point M' d'affixe z' est l'image du point M d'affixe z par la rotation de centre  d'affixe  et d'angle , donc:
Si
M≠
i.e. z≠
, alors (,
)
≡
 (2)
et M=M'
donc
arg
≡
 (2)
et |z–| = |z'–|
i.e. |
|=1.
Ainsi on a
donc
.
Si
M=î‚¶,
alors M'=, donc z=
et z'= et l'égalité
précédente est toujours vérifiée. En
effet,
.
cqfd
On considère le
repère orthogonal direct (D,
,
).
L'affixe de A est i.
L'affixe de E est
car E est l'image de C d'affixe 1 par la rotation de centre D et
d'angle
.
L'affixe de F est
car F est l'image de C d'affixe 1 par la rotation de centre B et
d'angle
.
L'affixe
de
est
.
L'affixe
de
est
.
D'où
,
donc
et
sont colinéaires, c'est-à-dire A, E, et F sont trois
points alignés.
Solution n°4:
Niveau: 1ère S
Outil: vecteur
Créé avec CaRMetal.
L'objectif est de
calculer le produit scalaire:
et de montrer qu'il égal à
.
= (
+
).(
+
)
=
=
+
+
+
=
=
=
=
AB2
.
car
(,
)=(
,
)+(
,
)=
Dans
le triangle ECF isocèle et rectangle en C, d'après le
théorème de Pythagore, on obtient: EF2=EC2+CF2=2AB2
donc EF =
AB
D'après le théorème d'Al-Kashi, dans le triangle AED, on obtient:
AE2
= AD2+DE2–2ADxEDcos()
= 2AB2
(1–
)
donc AE = AB
Ainsi,
AExEF =
AB2.
On
a
donc
car
et
D'où
=AB2
=
AB2=AExEF
donc cos(
,
)=1
donc
(,
)
≡ 0 (). Ainsi A, E
et F sont trois points alignés.
Solution n°5:
Niveau: 1ère S
Outil: vecteur (orthogonalité)
On construit le carré direct ECFG.
Démontrons que les droites (AE) et (CG) sont perpendiculaires.
Créé avec CaRMetal.
Calculons
.
=
+
= –
+
car
donc
.
Une
diagonale du carré ABCD et ECFG vaut AB,
d'où:
=
–2AB2
+ AB2
= 0 donc (AE) ⊥
(CG).
De plus, (EF) ⊥ (CG) car les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.
Donc (EF) // (AE), donc le points A, E et F sont alignés.
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