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Leçons d'oral I du capes préparé par bigup pour la session 2005

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Leçon n°01 - (visualisé 446 fois)
Utilisation d’arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples de dénombrement. Dénombrement des arrangements et des permutations.




Leçon n°03 - (visualisé 361 fois)
Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications.




Leçon n°04 - (visualisé 342 fois)
Description mathématique d’une expérience aléatoire: ensemble des événements élémentaires, événements, probabilité (on se limitera au cas où l’ensemble d’événements élémentaires est ?ni).




Leçon n°05 - (visualisé 330 fois)
Probabilité conditionnelle ; indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l’ensemble d’épreuves est ?ni). Applications à des calculs de probabilité.




Leçon n°06 - (visualisé 349 fois)
Variable aléatoire à valeurs réelles dont l’ensemble des valeurs est ?ni. Loi de probabilité. Espérance mathématique, variance. Exemples.




Leçon n°09 - (visualisé 322 fois)
Division euclidienne dans Z, unicité du quotient et du reste. Applications.




Leçon n°12 - (visualisé 331 fois)
Nombres premiers; existence et unicité de la décomposition d’un nombre en facteurs premiers. In?nitude de l’ensemble des nombres premiers. Exemple(s) d’algorithme(s) de recherche de nombres premiers. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.




Leçon n°13 - (visualisé 339 fois)
L’anneau Z; sous-groupes additifs de Z. Les idéaux de Z sont principaux. Egalité de Bézout. Résolution dans Z d’une équation de la forme ax + by = c.




Leçon n°16 - (visualisé 298 fois)
Introduction et construction du corps C des complexes. Propriétés.




Leçon n°17 - (visualisé 301 fois)
Racines n-ièmes d’un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications.




Leçon n°18 - (visualisé 342 fois)
Module et argument d’un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications.




Leçon n°23 - (visualisé 331 fois)
Caractérisation vectorielle d’une droite du plan. Représentations paramétriques. Génération des demi-droites, des segments. Parallélisme. Orthogonalité.




Leçon n°25 - (visualisé 308 fois)
Équation cartésienne d’une droite du plan. Problèmes d’intersection, parallélisme. Condition pour que trois droites soient concourantes.




Leçon n°26 - (visualisé 263 fois)
Équation cartésienne d’une droite du plan euclidien. Application à l’étude d’inéquations de la forme a cos t + b sin t ? c.




Leçon n°27 - (visualisé 302 fois)
Homothéties et translations; transformation vectorielle associée. Invariants élémentaires: e?et sur les directions, l’alignement, les distances... Applications à l’action sur les con?gurations usuelles.




Leçon n°28 - (visualisé 290 fois)
Ré?exion du plan échangeant deux points donnés; médiatrice, régionnement associé. Applications au triangle et au cercle (cercle circonscrit, angle inscrit...).




Leçon n°29 - (visualisé 275 fois)
Ré?exion du plan échangeant deux droites sécantes données, bissectrices. Applications au triangle et au cercle (cercle inscrit, tangentes à un cercle...).




Leçon n°30 - (visualisé 328 fois)
Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle (dans l’ordre que l’on voudra).




Leçon n°32 - (visualisé 340 fois)
Rotations planes. Notion d’angle.




Leçon n°33 - (visualisé 333 fois)
Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d’angles, optimisation...).




Leçon n°34 - (visualisé 302 fois)
Dé?nition et propriétés du produit scalaire dans le plan; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d’angles.




Leçon n°35 - (visualisé 300 fois)
Le cercle. Positions relatives d’une droite et d’un cercle, de deux cercles. Point de vue géométrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue.




Leçon n°36 - (visualisé 288 fois)
Théorème de l’angle inscrit : ensemble des points M du plan tels que l’angle orienté de droites ou de demi-droites (M A, M B) soit constant. Cocyclicité. Applications.




Leçon n°39 - (visualisé 276 fois)
Produit vectoriel dans l’espace euclidien orienté de dimension trois. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications.




Leçon n°40 - (visualisé 296 fois)
Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l’espace orienté : calculs de distances, d’aires, de volumes, d’angles...




Leçon n°41 - (visualisé 298 fois)
Dé?nition et propriétés du barycentre de n points pondérés. Associativité; application à la détermination de barycentres attachés à des con?gurations usuelles du plan, de l’espace.




Leçon n°42 - (visualisé 300 fois)
Composées d’homothéties et de translations du plan. Groupe des homothéties-translations. Applications.




Leçon n°44 - (visualisé 301 fois)
Étude des transformations du plan euclidien qui conservent les rapports de distances.




Leçon n°45 - (visualisé 292 fois)
Recherche des isométries du plan conservant un polygone régulier; exemples (triangle équilatéral, carré, hexagone, octogone...).




Leçon n°48 - (visualisé 244 fois)
Ellipse déduite d’un cercle par a?nité orthogonale dans le plan. Applications (en particulier, projection orthogonale d’un cercle sur un plan).




Leçon n°51 - (visualisé 325 fois)
Courbes dé?nies par des équations paramétriques dans le plan. Vecteur dérivé et tangente; interprétation cinématique.




Leçon n°52 - (visualisé 279 fois)
Dé?nitions de la parabole, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces dé?nitions. Construction de la tangente et de la normale en un point.




Leçon n°53 - (visualisé 312 fois)
Dé?nitions de l’ellipse, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces dé?nitions.




Leçon n°54 - (visualisé 269 fois)
Dé?nitions de l’hyperbole, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces dé?nitions.




Leçon n°55 - (visualisé 320 fois)
Exemples de représentation paramétrique des coniques; constructions de la tangente et de la normale en un point à une parabole, une ellipse, une hyperbole.




Leçon n°57 - (visualisé 319 fois)
Suites convergentes. Opérations algébriques, composition par une application continue. Comparaison de suites entre elles.




Leçon n°60 - (visualisé 341 fois)
Étude des suites de terme général an , nb et n!. Croissances comparées. Exemples de comparaison de suites aux suites précédentes. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.




Leçon n°62 - (visualisé 358 fois)
Limite ?nie d’une fonction à valeurs réelles en un point a de R. Opérations algébriques sur les limites. Continuité d’une fonction en un point. Exemples.




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